信号与系统（14）- 正弦稳态响应的求解过程

傅里叶级数和傅里叶变换，他们作用是将信号进行分解，其中傅里叶级数的本质是将周期信号分解为一系列复指数函数的和，而傅里叶变换的本质则将非周期信号分解为一系列复指数信号的积分，并且傅里叶变换

F

(

j

ω

)

F(j\omega)

F(jω)对应的是傅里叶级数中各个子信号的幅值

C

n

C_n

Cn​。关于傅里叶级数和傅里叶变换的区别和联系，在信号与系统（12）- 周期信号的傅里叶变换 有所讨论。

回顾之前提到的几个问题：

选取什么子信号将信号分解？如何分解？如何求得子信号的响应？如何将子信号的响应叠加，进而求得原信号的响应？

上述问题中，关于第一个问题，选用了正弦信号或复指数信号将信号进行分解。而关于第二个问题，对于周期信号可以使用傅里叶级数分解，关于非周期信号可以使用傅里叶变换分解，那么将信号分解为子信号之后，如何求得子信号的响应就成为了下一个问题。下面将对这个问题进行讲述，即正弦稳态响应的求解。

这部分内容属于电路分析课程中的内容，这里将选取重点进行回顾，为后续说明频域分析方法做准备。

1. 什么是复数？

1.1 复数的表示

设

A

A

A是一个复数，a和b分别是它的实部和虚部，则复数

A

A

A可以通过一下方式表示：

直角坐标形式

即:

A

=

a

+

j

b

A = a+ jb

A=a+jb 上式中的**

j

j

j是虚数单位，即

j

=

−

1

j=\sqrt{-1}

j=−1

​**。复数A的实部和虚部可以分别表示为：

R

e

(

A

)

=

a

,

I

m

(

A

)

=

b

Re(A)=a, \space \space \space Im(A)=b

Re(A)=a, Im(A)=b

通过复平面表示

如果将复数A的实部视为直角坐标的横轴，虚部看为直角坐标的纵轴，将这样的直角坐标系称为复平面，则复数A在复平面上的表示为：

由上图可知，这条有向线段的长度为复数A的模，记作

∣

A

∣

\vert A \vert

∣A∣，线段与实轴的夹角为幅角，记作

θ

\theta

θ，并且：

a

=

∣

A

∣

c

o

s

θ

,

b

=

∣

A

∣

s

i

n

θ

a = \vert A\vert cos \theta,\space \space \space b=\vert A\vert sin \theta

a=∣A∣cosθ, b=∣A∣sinθ 因此复数A也可以表示为：

A

=

∣

A

∣

c

o

s

θ

+

j

∣

A

∣

s

i

n

θ

=

∣

A

∣

(

c

o

s

θ

+

j

s

i

n

θ

)

\begin{aligned} A &= \vert A\vert cos\theta + j\vert A \vert sin\theta \\&=\vert A \vert(cos\theta + jsin\theta) \end{aligned}

A​=∣A∣cosθ+j∣A∣sinθ=∣A∣(cosθ+jsinθ)​ 这种形式也称为三角形式

通过指数表示

由欧拉公式：

e

j

θ

=

c

o

s

θ

+

j

s

i

n

θ

e^{j\theta}=cos\theta +jsin\theta

ejθ=cosθ+jsinθ 因此

A

=

∣

A

∣

(

c

o

s

θ

+

j

s

i

n

θ

)

A = \vert A \vert (cos\theta + jsin\theta)

A=∣A∣(cosθ+jsinθ)可以写为：

A

=

∣

A

∣

e

j

θ

A = \vert A \vert e^{j\theta}

A=∣A∣ejθ 上式即复数的指数形式

通过极坐标表示

极坐标形式将体现复数A的模的大小和幅角，即：

A

=

∣

A

∣

∠

θ

A = \vert A \vert \angle\theta

A=∣A∣∠θ 通过三角形式，可以确定幅值和幅角，即：

∣

A

∣

=

a

2

+

b

2

,

θ

=

a

r

c

t

a

n

(

b

a

)

\vert A \vert = \sqrt{a^2+b^2},\space \space \space \theta = arctan(\frac{b}{a})

∣A∣=a2+b2

​, θ=arctan(ab​)

1.2复数的运算

相等

对于三角坐标或指教坐标的形式，若两个复数的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等。对于极坐标的形式，若两个复数的幅值和幅角分别相等，则称这两个复数相等。

加减运算

复数的加减运算往往需要先将指数形式或复数形式转换为直角坐标形式再进行运算：

设

A

1

=

a

1

+

j

b

1

A_1 = a_1 +jb_1

A1​=a1​+jb1​，

A

2

=

a

2

+

j

b

2

A_2 = a_2+jb_2

A2​=a2​+jb2​，则

A

1

±

A

2

=

(

a

1

±

a

2

)

+

j

(

b

1

±

b

2

)

A_1 \pm A_2 = (a_1 \pm a_2)+j(b_1 \pm b_2)

A1​±A2​=(a1​±a2​)+j(b1​±b2​) 复数的加减运算可以看为矢量的加减运算，通过平行四边形法则以及三角形法则在复平面中进行变换。

乘法运算

若复数为直角坐标形式，即：

A

1

=

a

1

+

j

b

1

，

A

2

=

a

2

+

j

b

2

A_1 = a_1 +jb_1，\space A_2 = a_2+jb_2

A1​=a1​+jb1​， A2​=a2​+jb2​ 则：

A

1

A

2

=

(

a

1

+

j

b

1

)

(

a

2

+

j

b

2

)

=

(

a

1

a

2

−

b

1

b

2

)

+

j

(

a

1

b

2

+

a

2

b

1

)

\begin{aligned} A_1 A_2 &= (a_1 +jb_1)(a_2 +jb_2) \\&=(a_1a_2-b_1b_2)+j(a_1b_2+a_2b_1) \end{aligned}

A1​A2​​=(a1​+jb1​)(a2​+jb2​)=(a1​a2​−b1​b2​)+j(a1​b2​+a2​b1​)​ 若复数为极坐标形式，即：

A

1

=

∣

A

1

∣

∠

θ

,

A

2

=

∣

A

2

∣

∠

θ

A_1 = \vert A_1 \vert \angle\theta, \space \space A_2 = \vert A_2 \vert \angle\theta

A1​=∣A1​∣∠θ, A2​=∣A2​∣∠θ 则：

A

1

A

2

=

∣

A

1

∣

e

j

θ

1

∣

A

2

∣

e

j

θ

2

=

∣

A

1

∣

∣

A

2

∣

e

j

(

θ

1

+

θ

2

)

=

∣

A

1

∣

∣

A

2

∣

∠

(

θ

1

+

θ

2

)

\begin{aligned} A_1A_2 &= \vert A_1\vert e^{j\theta_1} \vert A_2\vert e^{j\theta_2} \\&=\vert A_1\vert \vert A_2\vert e^{j(\theta_1+\theta_2)} \\&=\vert A_1\vert \vert A_2\vert \angle(\theta_1+\theta_2) \end{aligned}

A1​A2​​=∣A1​∣ejθ1​∣A2​∣ejθ2​=∣A1​∣∣A2​∣ej(θ1​+θ2​)=∣A1​∣∣A2​∣∠(θ1​+θ2​)​ 即复数的乘法是幅度乘以幅度，相角加相角。

除法运算

若复数为直角坐标形式，即：

A

1

=

a

1

+

j

b

1

，

A

2

=

a

2

+

j

b

2

A_1 = a_1 +jb_1，\space A_2 = a_2+jb_2

A1​=a1​+jb1​， A2​=a2​+jb2​ 则：

A

1

A

2

=

a

1

+

j

b

1

a

2

+

j

b

2

=

a

1

a

2

+

b

1

b

2

a

2

2

+

b

2

2

+

j

a

2

b

1

−

a

1

b

2

a

2

2

+

b

2

2

\begin{aligned} \frac{A_1}{A_2}&=\frac{a_1 +jb_1}{a_2+jb_2} \\&=\frac{a_1a_2+b_1b_2}{a_2^2+b_2^2}+j\frac{a_2b_1-a_1b_2}{a_2^2+b_2^2} \end{aligned}

A2​A1​​​=a2​+jb2​a1​+jb1​​=a22​+b22​a1​a2​+b1​b2​​+ja22​+b22​a2​b1​−a1​b2​​​ 若复数为极坐标形式，即：

A

1

=

∣

A

1

∣

∠

θ

,

A

2

=

∣

A

2

∣

∠

θ

A_1 = \vert A_1 \vert \angle\theta, \space \space A_2 = \vert A_2 \vert \angle\theta

A1​=∣A1​∣∠θ, A2​=∣A2​∣∠θ 则：

A

1

A

2

=

∣

A

1

∣

∣

A

2

∣

e

j

θ

1

e

j

θ

2

=

∣

A

1

∣

∣

A

2

∣

e

j

(

θ

1

−

θ

2

)

=

∣

A

1

∣

∣

A

2

∣

∠

(

θ

1

−

θ

2

)

\begin{aligned} \frac{A_1}{A_2}&=\frac{\vert A_1 \vert}{\vert A_2 \vert}\frac{e^j\theta_1}{e^j\theta_2} \\&=\frac{\vert A_1 \vert}{\vert A_2 \vert}e^{j(\theta_1-\theta_2)} \\&=\frac{\vert A_1 \vert}{\vert A_2 \vert} \angle(\theta_1-\theta_2) \end{aligned}

A2​A1​​​=∣A2​∣∣A1​∣​ejθ2​ejθ1​​=∣A2​∣∣A1​∣​ej(θ1​−θ2​)=∣A2​∣∣A1​∣​∠(θ1​−θ2​)​ 即复数的除法是幅度除以幅度，相角减相角

1.3 相量

相量法是复数这个数学概念在电路分析中的一个应用。如果说数学中使用向量可以表示正弦函数，那么在电学系统中，相量则可以表示一个特定频率下的正弦信号。

首先，对于一个正弦信号，如：

i

=

I

m

s

i

n

(

ω

t

+

φ

i

)

i=I_msin(\omega t +\varphi_i)

i=Im​sin(ωt+φi​) 其中幅值

I

m

I_m

Im​，角频率

ω

=

2

π

f

\omega=2\pi f

ω=2πf，以及初始相位

φ

i

\varphi_i

φi​为正弦量的三要素。初始相位即

t

=

0

t=0

t=0时刻的相位，一般取值为

[

0

,

18

0

∘

]

[0,180^{\circ}]

[0,180∘]。

如果用复指数函数表示上述信号，则对于上述正弦信号，需取复指数函数的虚部，如下：

i

=

I

m

s

i

n

(

ω

t

+

φ

i

)

=

I

m

⋅

I

m

[

e

j

(

ω

t

+

φ

i

)

]

=

I

m

[

I

m

⋅

e

j

(

ω

t

+

φ

i

)

]

=

I

m

[

2

I

e

j

φ

i

⋅

e

j

ω

t

]

若

令

I

˙

=

I

e

j

φ

i

,

则

=

I

m

[

2

I

˙

⋅

e

j

ω

t

]

\begin{aligned} i&=I_msin(\omega t + \varphi_i) \\&=I_m\cdot Im[e^{j(\omega t + \varphi_i)}] \\&=Im[I_m\cdot e^{j(\omega t + \varphi_i)}] \\&=Im[\sqrt{2}Ie^{j\varphi_i}\cdot e^{j\omega t}] \\&若令\dot{I}=Ie^{j\varphi_i},则 \\&=Im[\sqrt{2}\dot{I}\cdot e^{j\omega t}] \end{aligned}

i​=Im​sin(ωt+φi​)=Im​⋅Im[ej(ωt+φi​)]=Im[Im​⋅ej(ωt+φi​)]=Im[2

​Iejφi​⋅ejωt]若令I˙=Iejφi​,则=Im[2

​I˙⋅ejωt]​ 如果将

I

˙

=

I

e

j

φ

i

\dot{I}=Ie^{j\varphi_i}

I˙=Iejφi​记为

I

˙

=

I

∠

φ

i

\dot{I} = I\angle\varphi_i

I˙=I∠φi​ 其中

I

=

I

m

2

I = \frac{I_m}{\sqrt{2}}

I=2

​Im​​，是信号的有效值，即完成了对

i

=

I

m

s

i

n

(

ω

t

+

φ

i

)

i=I_msin(\omega t +\varphi_i)

i=Im​sin(ωt+φi​)相量表示。

相量是用来表示除角频率之外，其余两个正弦量要素的方法，即通过相量表示正弦信号的幅值和初始相位。在多个正弦信号具有相同频率的前提下，相量的表示方法与信号具有一一对应的关系。但是相量并不是信号本身，如上述正弦电流信号，信号本身为

I

m

[

2

I

˙

⋅

e

j

ω

t

]

Im[\sqrt{2}\dot{I}\cdot e^{j\omega t}]

Im[2

​I˙⋅ejωt]，其中

I

˙

\dot{I}

I˙只是可以代表这个特定频率的正弦信号而已。

通过相量，可以对电阻，电容电感等元件的电气特性进行表示，如下：

电阻

设电阻R中流过正弦电流

i

=

2

I

s

i

n

(

ω

t

+

φ

i

)

i=\sqrt{2}Isin(\omega t +\varphi_i)

i=2

​Isin(ωt+φi​)

则电阻两端的电压为：

u

=

R

i

=

2

R

I

s

i

n

(

ω

t

+

φ

i

)

=

2

U

s

i

n

(

ω

t

+

φ

u

)

u=Ri = \sqrt{2}RI sin(\omega t+ \varphi_i) = \sqrt{2}Usin(\omega t +\varphi_u)

u=Ri=2

​RIsin(ωt+φi​)=2

​Usin(ωt+φu​) 因此：

U

=

I

R

,

φ

i

=

φ

u

U = IR,\space \space \varphi_i=\varphi_u

U=IR, φi​=φu​ 即电压与电流的相位相同，电压有效值和电流有效值满足欧姆定理。用相量表示为：

U

˙

=

I

˙

R

\dot{U}=\dot{I}R

U˙=I˙R

电容

设电容C中流过正弦电压

u

=

2

U

s

i

n

(

ω

t

+

φ

u

)

u=\sqrt{2}Usin(\omega t +\varphi_u)

u=2

​Usin(ωt+φu​)

则流经电容的电流为：

i

=

C

d

d

t

u

=

2

C

U

ω

s

i

n

(

ω

t

+

φ

u

+

π

2

)

i = C\frac{d}{dt}u = \sqrt{2}CU \omega sin(\omega t +\varphi_u +\frac{\pi}{2})

i=Cdtd​u=2

​CUωsin(ωt+φu​+2π​) 因此：

I

=

ω

C

U

,

φ

i

=

φ

u

+

π

2

I = \omega CU,\space \space \varphi_i = \varphi_u +\frac{\pi}{2}

I=ωCU, φi​=φu​+2π​ 即电容上的电流和电压是同频率的正弦量，电流有效值是电压有效值和

ω

C

\omega C

ωC的乘积。电流的初相位领先电压

π

2

\frac{\pi}{2}

2π​。用相量表示为：

I

˙

=

j

ω

C

U

˙

\dot{I}=j\omega C\dot{U}

I˙=jωCU˙ 其中电流领先的

π

2

\frac{\pi}{2}

2π​通过叙述单位

j

j

j包含在上式中。

电感

设电感C中流过正弦电流

i

=

2

I

s

i

n

(

ω

t

+

φ

i

)

i=\sqrt{2}Isin(\omega t +\varphi_i)

i=2

​Isin(ωt+φi​)

则电感两端的电压为：

u

=

L

d

d

t

i

=

2

L

I

ω

s

i

n

(

ω

t

+

φ

i

+

π

2

)

u = L\frac{d}{dt}i = \sqrt{2}LI \omega sin(\omega t +\varphi_i+\frac{\pi}{2})

u=Ldtd​i=2

​LIωsin(ωt+φi​+2π​) 因此：

U

=

ω

L

I

,

φ

u

=

φ

i

+

π

2

U = \omega LI,\space \space \varphi_u = \varphi_i +\frac{\pi}{2}

U=ωLI, φu​=φi​+2π​ 即电感上的电流和电压是同频率的正弦量，电压有效值是电流有效值和

ω

L

\omega L

ωL的乘积。电压的初相位领先电流

π

2

\frac{\pi}{2}

2π​。用相量表示为：

U

˙

=

j

ω

L

I

˙

\dot{U}=j\omega L\dot{I}

U˙=jωLI˙ 其中电压领先的

π

2

\frac{\pi}{2}

2π​通过虚数单位

j

j

j包含在上式中。所以，相量可以同时表示幅值和初始相位信息，使用更加方便。

由于相量也是一个复数，因此，若有两个频率相同的正弦信号，则其加减乘除运算方式和复数的运算方式相同。计算加减运算时，将相量转化为直角坐标形式，计算乘除运算时，尽量使用极坐标形式，分分别对幅值和相角进行运算。

即，若有相量

U

1

˙

=

∣

U

1

∣

∠

φ

1

\dot{U_1} = \vert U_1 \vert \angle \varphi_1

U1​˙​=∣U1​∣∠φ1​和

U

2

˙

=

∣

U

2

∣

∠

φ

2

\dot{U_2} = \vert U_2 \vert \angle \varphi_2

U2​˙​=∣U2​∣∠φ2​，则

直

角

坐

标

形

式

：

U

1

˙

=

R

e

+

j

I

m

=

∣

U

1

∣

c

o

s

φ

1

+

j

∣

U

1

∣

s

i

n

φ

1

U

2

˙

=

R

e

+

j

I

m

=

∣

U

2

∣

c

o

s

φ

2

+

j

∣

U

2

∣

s

i

n

φ

2

加

减

运

算

：

U

1

˙

+

U

2

˙

=

(

∣

U

1

∣

c

o

s

φ

1

+

∣

U

2

∣

c

o

s

φ

1

)

+

j

(

∣

U

1

∣

s

i

n

φ

2

+

∣

U

2

∣

s

i

n

φ

2

)

除

运

算

：

U

1

˙

U

2

˙

=

∣

U

1

∣

∣

U

2

∣

∠

(

φ

1

−

φ

2

)

乘

运

算

：

U

1

˙

U

2

˙

=

∣

U

1

∣

∣

U

2

∣

∠

(

φ

1

+

φ

2

)

\begin{aligned} 直角坐标形式：& \\&\dot{U_1} = Re +jIm = \vert U_1 \vert cos\varphi_1 +j\vert U_1 \vert sin\varphi_1 \\&\dot{U_2} = Re +jIm = \vert U_2 \vert cos\varphi_2 +j\vert U_2 \vert sin\varphi_2 \\加减运算：& \\&\dot{U_1}+\dot{U_2} = (\vert U_1 \vert cos\varphi_1 + \vert U_2 \vert cos\varphi_1)+j(\vert U_1 \vert sin\varphi_2 +\vert U_2 \vert sin\varphi_2) \\除运算：& \\&\frac{\dot{U_1}}{\dot{U_2}}=\frac{\vert U_1 \vert}{\vert U_2 \vert}\angle(\varphi_1 - \varphi_2) \\乘运算：& \\&\dot{U_1}\dot{U_2}=\vert U_1 \vert\vert U_2 \vert\angle(\varphi_1 + \varphi_2) \end{aligned}

直角坐标形式：加减运算：除运算：乘运算：​U1​˙​=Re+jIm=∣U1​∣cosφ1​+j∣U1​∣sinφ1​U2​˙​=Re+jIm=∣U2​∣cosφ2​+j∣U2​∣sinφ2​U1​˙​+U2​˙​=(∣U1​∣cosφ1​+∣U2​∣cosφ1​)+j(∣U1​∣sinφ2​+∣U2​∣sinφ2​)U2​˙​U1​˙​​=∣U2​∣∣U1​∣​∠(φ1​−φ2​)U1​˙​U2​˙​=∣U1​∣∣U2​∣∠(φ1​+φ2​)​ 举例：设正弦电流

u

=

2

×

10

s

i

n

(

314

t

+

3

0

∘

)

u=\sqrt{2}\times10sin(314 t +30^\circ)

u=2

​×10sin(314t+30∘)流过一个0.3H的电感，求电感两端的电压

u

u

u。

解：

I

˙

=

10

∠

3

0

∘

U

˙

=

j

ω

L

I

˙

=

314

×

0.4

×

10

∠

(

3

0

∘

+

9

0

∘

)

=

1256

∠

12

0

∘

u

=

2

×

1256

s

i

n

(

314

t

+

12

0

∘

)

\begin{aligned} \dot{I} &= 10\angle 30^{\circ} \\\dot{U} &=j\omega L \dot{I} = 314\times 0.4 \times10\angle (30^{\circ}+90^{\circ}) = 1256\angle 120^{\circ} \\u&=\sqrt{2}\times1256 sin(314 t + 120^{\circ}) \end{aligned}

I˙U˙u​=10∠30∘=jωLI˙=314×0.4×10∠(30∘+90∘)=1256∠120∘=2

​×1256sin(314t+120∘)​ 上式中的

9

0

∘

90^{\circ}

90∘是通过虚数单位

j

j

j得到的。

2. 如何求正弦稳态响应？

2.1 阻抗

若一个系统内部不含有独立电流源和独立电压源，且系统为LTI系统，当它在正弦激励下处于稳态，则该系统的端口电压和电流一定是同频率的正弦量，如下图所示

应用相量法，端口的电压相量和电流相量的比值定义为端口的等效阻抗：

Z

=

U

˙

I

˙

=

U

I

∠

(

φ

u

−

φ

i

)

=

∣

Z

∣

∠

φ

Z=\frac{\dot{U}}{\dot{I}}=\frac{U}{I}\angle(\varphi_u-\varphi_i)=\vert Z \vert \angle\varphi

Z=I˙U˙​=IU​∠(φu​−φi​)=∣Z∣∠φ 阻抗是一个复数，幅值为

∣

Z

∣

\vert Z \vert

∣Z∣，阻抗角为

φ

=

φ

u

−

φ

i

\varphi=\varphi_u-\varphi_i

φ=φu​−φi​，也可以表示为直角坐标形式：

Z

=

R

+

j

X

Z = R+jX

Z=R+jX 其中实部

R

=

∣

Z

∣

c

o

s

φ

R = \vert Z \vert cos\varphi

R=∣Z∣cosφ称为电阻，虚部$X = \vert Z \vert sin\varphi $称为电抗。并且

∣

Z

∣

=

R

2

+

X

2

,

φ

=

a

r

c

t

a

n

X

R

\vert Z \vert = \sqrt{R^2 + X^2}, \space \space \varphi=arctan{\frac{X}{R}}

∣Z∣=R2+X2

​, φ=arctanRX​ 由实部

R

R

R，虚部

X

X

X和阻抗角

φ

\varphi

φ在复平面构成的三角形，称为阻抗三角形，如下图所示：

电阻、电容以及电感的阻抗分别为：

Z

R

=

R

Z

L

=

j

ω

L

Z

C

=

1

j

ω

C

\begin{aligned} Z_R & = R \\Z_L &= j\omega L \\Z_C &= \frac{1}{j\omega C} \end{aligned}

ZR​ZL​ZC​​=R=jωL=jωC1​​ 电路定律如KVL，KCL以及欧姆定律对于相量法仍然适用，即

U

˙

=

Z

I

˙

U

˙

=

U

1

˙

+

U

2

˙

+

U

3

˙

+

⋯

I

˙

=

I

1

˙

+

I

2

˙

+

I

3

˙

+

⋯

\begin{aligned} &\dot{U} = Z \dot{I} \\&\dot{U} = \dot{U_1} + \dot{U_2} +\dot{U_3} + \cdots \\&\dot{I} = \dot{I_1} + \dot{I_2} +\dot{I_3} + \cdots \end{aligned}

​U˙=ZI˙U˙=U1​˙​+U2​˙​+U3​˙​+⋯I˙=I1​˙​+I2​˙​+I3​˙​+⋯​

2.2 周期信号的正弦稳态响应

运用阻抗和相量的相关知识，可以很轻松求出电路的正弦稳态响应，通常来说包含下列步骤：

将电路中的元件使用阻抗进行表示，即对于电阻，电容和电感：

Z

R

=

R

Z

L

=

j

ω

L

Z

C

=

1

j

ω

C

\begin{aligned} Z_R & = R \\Z_L &= j\omega L \\Z_C &= \frac{1}{j\omega C} \end{aligned}

ZR​ZL​ZC​​=R=jωL=jωC1​​

使用向量形式的欧姆定律、KVL、KCL等列出方程。这些方程都是复数的代数方程解方程，在写出所求电压或电流的瞬时值表达式。

下面举例说明：

**举例：**如RLC串联电路中激励

u

s

=

50

2

s

i

n

(

1000

t

+

3

0

∘

)

u_s = 50\sqrt{2}sin(1000t+30^\circ )

us​=502

​sin(1000t+30∘)V，

R

=

10

Ω

R=10\Omega

R=10Ω，

L

=

10

m

H

L=10mH

L=10mH，

C

=

50

μ

F

C=50\mu F

C=50μF，稳态电流

i

(

t

)

i(t)

i(t) ，以及稳态电压

u

c

(

t

)

u_c(t)

uc​(t)

用相量表示电源激励信号，以及电容、电阻和电感

激

励

信

号

u

s

(

t

)

的

相

量

形

式

为

：

U

s

˙

=

2

×

50

2

∠

3

0

∘

=

50

∠

3

0

∘

V

电

阻

的

阻

抗

形

式

为

：

Z

R

=

10

Ω

电

容

的

阻

抗

形

式

为

：

Z

C

=

1

j

ω

C

=

−

j

1

1000

×

50

×

1

0

−

6

=

−

j

20

Ω

电

感

的

阻

抗

形

式

为

：

Z

L

=

j

ω

L

=

j

1000

×

10

×

1

0

−

3

=

j

10

Ω

\begin{aligned} 激励信号u_s(t)的相量形式为&：\dot{U_s}=\frac{\sqrt{2}\times 50}{\sqrt{2}}\angle30^\circ=50\angle30^\circ V \\电阻的阻抗形式为&：Z_R=10\Omega \\电容的阻抗形式为&：Z_C = \frac{1}{j\omega C}=-j\frac{1}{1000\times 50 \times10^{-6}}=-j20\Omega \\电感的阻抗形式为&：Z_L=j\omega L = j 1000\times 10 \times 10^{-3}=j10\Omega \end{aligned}

激励信号us​(t)的相量形式为电阻的阻抗形式为电容的阻抗形式为电感的阻抗形式为​：Us​˙​=2

​2

​×50​∠30∘=50∠30∘V：ZR​=10Ω：ZC​=jωC1​=−j1000×50×10−61​=−j20Ω：ZL​=jωL=j1000×10×10−3=j10Ω​

通过电路定律，如欧姆定律求解稳态电压

u

c

(

t

)

u_c(t)

uc​(t)的相量表示

U

C

˙

\dot{U_C}

UC​˙​.

由

相

量

的

欧

姆

定

律

可

知

：

U

˙

C

=

I

˙

⋅

Z

C

即

:

U

˙

C

=

U

˙

s

Z

R

+

Z

C

+

Z

L

⋅

Z

C

=

50

∠

3

0

∘

×

(

−

j

20

)

10

+

j

10

−

j

20

化

简

得

：

U

˙

C

=

50

∠

3

0

∘

×

20

∠

−

90

∘

10

2

∠

−

45

∘

根

据

之

前

提

到

的

复

数

或

相

量

的

运

算

法

则

：

U

˙

C

=

1000

∠

−

6

0

∘

10

2

∠

−

45

∘

=

70.7

∠

−

1

5

∘

\begin{aligned} 由相量的欧姆定律可知&：\dot U_C = \dot I \cdot Z_C \\即&:\dot U_C = \frac{\dot U_s}{Z_R+Z_C+Z_L}\cdot Z_C = \frac{50\angle 30^\circ \times(-j20)}{10 + j10-j20} \\化简得&：\dot U_C = \frac{50\angle 30^\circ \times 20\angle{-90}^\circ}{10\sqrt{2}\angle{-45}^{\circ}} \\根据之前提到的复数或相量的运算法则&：\dot U_C = \frac{1000\angle{-60^\circ}}{10\sqrt{2}\angle{-45}^{\circ}}=70.7\angle{-15^\circ} \end{aligned}

由相量的欧姆定律可知即化简得根据之前提到的复数或相量的运算法则​：U˙C​=I˙⋅ZC​:U˙C​=ZR​+ZC​+ZL​U˙s​​⋅ZC​=10+j10−j2050∠30∘×(−j20)​：U˙C​=102

​∠−45∘50∠30∘×20∠−90∘​：U˙C​=102

​∠−45∘1000∠−60∘​=70.7∠−15∘​

根据相量写出正弦时间函数：

由

于

输

入

的

正

弦

信

号

频

率

为

：

ω

=

100

因

此

：

u

C

(

t

)

=

70.7

×

2

s

i

n

(

1000

t

−

1

5

∘

)

即

：

u

C

(

t

)

=

100

s

i

n

(

1000

t

−

1

5

∘

)

\begin{aligned} 由于输入的正弦信号频率为&：\omega=100 \\因此&：u_C(t) = 70.7\times\sqrt{2}sin(1000t-15^\circ) \\即&：u_C(t)=100sin(1000t-15^\circ) \end{aligned}

由于输入的正弦信号频率为因此即​：ω=100：uC​(t)=70.7×2

​sin(1000t−15∘)：uC​(t)=100sin(1000t−15∘)​

2.3 周期性非正弦信号的正弦稳态响应

非周期信号的正弦稳态响应，其实就是将信号通过傅里叶级数，分解为一个个周期正弦信号，再通过求解周期信号的正弦稳态响应，利用LTI系统的叠加原理，求得最后的响应。具体步骤如下：

将周期性非正弦信号通过傅里叶级数进行分解，分解方法见信号与系统（8）- 复指数形式的傅里叶级数.用相量表示各个分量电源激励信号，以及电容、电阻和电感根据相量求出正弦时间函数各个正弦分量的正弦稳态响应。将各个分量的正弦时间函数相加得到最终的稳态响应。

下面举例说明：一个频率为

f

=

1

M

H

z

f=1MHz

f=1MHz的矩形波信号

u

s

u_s

us​通过下图1所示得滤波电路，矩形波波形如图2所示。已知

L

=

0.318

m

H

,

R

=

1000

Ω

,

C

=

79.58

p

F

,

U

=

10

V

L=0.318mH, R=1000\Omega, C=79.58pF, U=10V

L=0.318mH,R=1000Ω,C=79.58pF,U=10V，求输出信号

u

o

u_o

uo​。

将周期性非正弦信号通过傅里叶级数进行分解

此信号的表达式为：

u

s

(

t

)

=

{

10

,

0

+

k

T

≤

t

<

T

2

+

k

T

−

10

,

−

T

2

+

k

T

<

t

<

0

+

k

T

u_s(t) = \left \{ \begin{aligned} 10,& \space \space\space \space0 +kT\leq t<\frac{T}{2}+kT \\-10,&\space \space\space \space -\frac{T}{2}+kT

us​(t)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​10,−10,​ 0+kT≤t<2T​+kT −2T​+kT

u

s

(

t

)

=

4

U

π

s

i

n

ω

t

+

4

U

3

π

s

i

n

3

ω

t

+

4

U

5

π

s

i

n

5

ω

t

\begin{aligned} u_s(t) = \frac{4U}{\pi}sin\omega t +\frac{4U}{3\pi}sin3\omega t +\frac{4U}{5\pi}sin5\omega t \end{aligned}

us​(t)=π4U​sinωt+3π4U​sin3ωt+5π4U​sin5ωt​ 令

u

s

1

(

t

)

=

4

U

π

s

i

n

ω

t

u_{s1}(t)=\frac{4U}{\pi}sin\omega t

us1​(t)=π4U​sinωt，

u

s

1

(

t

)

=

4

U

3

π

s

i

n

3

ω

t

u_{s1}(t)=\frac{4U}{3\pi}sin3\omega t

us1​(t)=3π4U​sin3ωt，

u

s

1

(

t

)

=

4

U

5

π

s

i

n

5

ω

t

u_{s1}(t)=\frac{4U}{5\pi}sin5\omega t

us1​(t)=5π4U​sin5ωt

用相量表示各个分量电源激励信号，以及电容、电阻和电感

对于

u

s

1

(

t

)

u_{s1}(t)

us1​(t)：

激

励

信

号

u

s

1

(

t

)

的

相

量

形

式

为

：

U

s

1

˙

=

4

×

10

π

2

∠

0

∘

=

40

π

2

∠

0

∘

V

电

阻

的

阻

抗

形

式

为

：

Z

R

=

1000

Ω

电

容

的

阻

抗

形

式

为

：

Z

C

=

1

j

ω

C

=

−

j

1

2

π

×

1

×

1

0

6

×

79.58

×

1

0

−

12

=

−

j

2000

Ω

电

感

的

阻

抗

形

式

为

：

Z

L

=

j

ω

L

=

j

2

π

×

1

×

1

0

6

×

0.318

×

1

0

−

3

=

j

2000

Ω

\begin{aligned} 激励信号u_{s1}(t)的相量形式为&：\dot{U_{s1}}=\frac{4\times 10}{\pi \sqrt{2}}\angle0^\circ=\frac{40}{\pi\sqrt2}\angle0^\circ V \\电阻的阻抗形式为&：Z_R=1000\Omega \\电容的阻抗形式为&：Z_C = \frac{1}{j\omega C}=-j\frac{1}{2\pi \times 1\times 10^{6}\times 79.58 \times10^{-12}}=-j2000\Omega \\电感的阻抗形式为&：Z_L=j\omega L = j 2\pi \times 1\times 10^{6}\times 0.318 \times 10^{-3}=j2000\Omega \end{aligned}

激励信号us1​(t)的相量形式为电阻的阻抗形式为电容的阻抗形式为电感的阻抗形式为​：Us1​˙​=π2

​4×10​∠0∘=π2

​40​∠0∘V：ZR​=1000Ω：ZC​=jωC1​=−j2π×1×106×79.58×10−121​=−j2000Ω：ZL​=jωL=j2π×1×106×0.318×10−3=j2000Ω​ 对于

u

s

2

(

t

)

u_{s2}(t)

us2​(t)：

激

励

信

号

u

s

1

(

t

)

的

相

量

形

式

为

：

U

s

1

˙

=

4

×

10

3

π

2

∠

0

∘

=

40

3

π

2

∠

0

∘

V

电

阻

的

阻

抗

形

式

为

：

Z

R

=

1000

Ω

电

容

的

阻

抗

形

式

为

：

Z

C

=

1

j

3

ω

C

=

−

j

1

3

×

2

π

×

1

×

1

0

6

×

79.58

×

1

0

−

12

=

−

j

666.65

Ω

电

感

的

阻

抗

形

式

为

：

Z

L

=

j

3

ω

L

=

j

3

×

2

π

×

1

×

1

0

6

×

0.318

×

1

0

−

3

=

j

5994.16

Ω

\begin{aligned} 激励信号u_{s1}(t)的相量形式为&：\dot{U_{s1}}=\frac{4\times 10}{3\pi\sqrt2}\angle0^\circ=\frac{40}{3\pi\sqrt2}\angle0^\circ V \\电阻的阻抗形式为&：Z_R=1000\Omega \\电容的阻抗形式为&：Z_C = \frac{1}{j3\omega C}=-j\frac{1}{3\times2\pi \times 1\times 10^{6}\times 79.58 \times10^{-12}}=-j666.65\Omega \\电感的阻抗形式为&：Z_L=j3\omega L = j 3\times2\pi \times 1\times 10^{6}\times 0.318 \times 10^{-3}=j5994.16\Omega \end{aligned}

激励信号us1​(t)的相量形式为电阻的阻抗形式为电容的阻抗形式为电感的阻抗形式为​：Us1​˙​=3π2

​4×10​∠0∘=3π2

​40​∠0∘V：ZR​=1000Ω：ZC​=j3ωC1​=−j3×2π×1×106×79.58×10−121​=−j666.65Ω：ZL​=j3ωL=j3×2π×1×106×0.318×10−3=j5994.16Ω​ 对于

u

s

3

(

t

)

u_{s3}(t)

us3​(t)：

激

励

信

号

u

s

1

(

t

)

的

相

量

形

式

为

：

U

s

1

˙

=

4

×

10

5

π

2

∠

0

∘

=

40

5

π

2

∠

0

∘

V

电

阻

的

阻

抗

形

式

为

：

Z

R

=

1000

Ω

电

容

的

阻

抗

形

式

为

：

Z

C

=

1

j

5

ω

C

=

−

j

1

5

×

2

π

×

1

×

1

0

6

×

79.58

×

1

0

−

12

=

−

j

400

Ω

电

感

的

阻

抗

形

式

为

：

Z

L

=

j

5

ω

L

=

j

5

×

2

π

×

1

×

1

0

6

×

0.318

×

1

0

−

3

=

j

9990.3

Ω

\begin{aligned} 激励信号u_{s1}(t)的相量形式为&：\dot{U_{s1}}=\frac{4\times 10}{5\pi\sqrt2}\angle0^\circ=\frac{40}{5\pi\sqrt2}\angle0^\circ V \\电阻的阻抗形式为&：Z_R=1000\Omega \\电容的阻抗形式为&：Z_C = \frac{1}{j5\omega C}=-j\frac{1}{5\times2\pi \times 1\times 10^{6}\times 79.58 \times10^{-12}}=-j400\Omega \\电感的阻抗形式为&：Z_L=j5\omega L = j 5\times2\pi \times 1\times 10^{6}\times 0.318 \times 10^{-3}=j9990.3\Omega \end{aligned}

激励信号us1​(t)的相量形式为电阻的阻抗形式为电容的阻抗形式为电感的阻抗形式为​：Us1​˙​=5π2

​4×10​∠0∘=5π2

​40​∠0∘V：ZR​=1000Ω：ZC​=j5ωC1​=−j5×2π×1×106×79.58×10−121​=−j400Ω：ZL​=j5ωL=j5×2π×1×106×0.318×10−3=j9990.3Ω​

根据相量求出正弦时间函数各个正弦分量的正弦稳态响应

对于

u

s

1

(

t

)

u_{s1}(t)

us1​(t)：

由

相

量

的

欧

姆

定

律

可

知

：

Z

=

Z

R

+

Z

C

∥

Z

L

=

j

ω

L

j

ω

C

j

ω

L

−

j

1

ω

C

+

R

根

据

K

V

L

:

U

˙

o

1

=

U

˙

s

1

−

U

˙

R

由

于

ω

L

=

1

ω

C

：

因

此

j

ω

L

j

ω

C

j

ω

L

−

j

1

ω

C

⟶

∞

,

即

：

Z

C

∥

Z

L

⟶

∞

R

和

L

C

网

络

串

联

，

当

L

C

并

联

网

络

的

阻

抗

无

穷

大

时

：

U

˙

R

=

0

V

因

此

：

U

˙

o

1

=

U

˙

s

1

=

40

π

2

∠

0

∘

=

9

∠

0

∘

V

\begin{aligned} 由相量的欧姆定律可知&：Z = Z_R + Z_C \parallel Z_L = \frac{\frac{j\omega L}{j\omega C}}{j\omega L - j\frac{1}{\omega C}}+R \\根据KVL&:\dot U_{o1} = \dot U_{s1}-\dot U_R \\由于\omega L = \frac{1}{\omega C}&：因此\frac{\frac{j\omega L}{j\omega C}}{j\omega L - j\frac{1}{\omega C}} \longrightarrow \infty,\space即：Z_C \parallel Z_L \longrightarrow \infty \\R和LC网络串联，当LC并联网络的阻抗无穷大时&：\dot U_R = 0V \\因此&：\dot U_{o1} = \dot U_{s1} = \frac{40}{\pi \sqrt2}\angle0^\circ = 9 \angle0^\circ V \end{aligned}

由相量的欧姆定律可知根据KVL由于ωL=ωC1​R和LC网络串联，当LC并联网络的阻抗无穷大时因此​：Z=ZR​+ZC​∥ZL​=jωL−jωC1​jωCjωL​​+R:U˙o1​=U˙s1​−U˙R​：因此jωL−jωC1​jωCjωL​​⟶∞, 即：ZC​∥ZL​⟶∞：U˙R​=0V：U˙o1​=U˙s1​=π2

​40​∠0∘=9∠0∘V​ 对于

u

s

2

(

t

)

u_{s2}(t)

us2​(t)：

由

K

V

L

和

欧

姆

定

律

得

知

：

Z

=

Z

R

+

Z

C

∥

Z

L

=

j

3

ω

L

j

3

ω

C

j

3

ω

L

−

j

1

3

ω

C

+

R

且

:

U

˙

o

2

=

Z

C

∥

Z

L

Z

R

+

Z

C

∥

Z

L

⋅

U

˙

s

2

即

：

U

˙

o

2

=

j

3

ω

L

j

3

ω

C

j

3

ω

L

−

j

1

3

ω

C

Z

R

+

j

3

ω

L

j

3

ω

C

j

3

ω

L

−

j

1

3

ω

C

⋅

40

3

π

2

∠

0

∘

=

−

j

750

1000

−

j

750

⋅

40

3

π

2

∠

0

∘

将

直

角

坐

标

转

换

为

直

角

坐

标

，

计

算

得

：

U

˙

o

2

=

0.6

∠

−

53.

1

∘

⋅

40

3

π

2

∠

0

∘

=

1.8

∠

−

53.

1

∘

V

\begin{aligned} 由KVL和欧姆定律得知&：Z = Z_R + Z_C \parallel Z_L = \frac{\frac{j3\omega L}{j3\omega C}}{j3\omega L - j\frac{1}{3\omega C}}+R \\且&:\dot U_{o2} =\frac{Z_C \parallel Z_L}{Z_R + Z_C \parallel Z_L}\cdot \dot U_{s2} \\即&：\dot U_{o2} =\frac{\frac{\frac{j3\omega L}{j3\omega C}}{j3\omega L - j\frac{1}{3\omega C}}}{Z_R + \frac{\frac{j3\omega L}{j3\omega C}}{j3\omega L - j\frac{1}{3\omega C}}}\cdot \frac{40}{3\pi\sqrt2}\angle0^\circ = \frac{-j750}{1000-j750} \cdot \frac{40}{3\pi\sqrt2}\angle0^\circ \\将直角坐标转换为直角坐标，计算得&：\dot U_{o2} = 0.6\angle{-53.1^\circ}\cdot\frac{40}{3\pi \sqrt2}\angle0^\circ = 1.8\angle{-53.1^\circ}V \end{aligned}

由KVL和欧姆定律得知且即将直角坐标转换为直角坐标，计算得​：Z=ZR​+ZC​∥ZL​=j3ωL−j3ωC1​j3ωCj3ωL​​+R:U˙o2​=ZR​+ZC​∥ZL​ZC​∥ZL​​⋅U˙s2​：U˙o2​=ZR​+j3ωL−j3ωC1​j3ωCj3ωL​​j3ωL−j3ωC1​j3ωCj3ωL​​​⋅3π2

​40​∠0∘=1000−j750−j750​⋅3π2

​40​∠0∘：U˙o2​=0.6∠−53.1∘⋅3π2

​40​∠0∘=1.8∠−53.1∘V​ 对于

u

s

3

(

t

)

u_{s3}(t)

us3​(t)：

计

算

得

：

U

˙

o

3

=

0.69

∠

−

67.

4

∘

V

\begin{aligned} 计算得：\dot U_{o3}=0.69\angle{-67.4^\circ} V \end{aligned}

计算得：U˙o3​=0.69∠−67.4∘V​

将各个分量的正弦时间函数相加得到最终的稳态响应

由之前的求解步骤可知：

U

˙

o

1

=

9

∠

0

∘

V

U

˙

o

2

=

1.8

∠

−

53.

1

∘

V

U

˙

o

3

=

0.69

∠

−

67.

4

∘

V

\begin{aligned} \dot U_{o1} &= 9 \angle0^\circ V \\\dot U_{o2} &= 1.8\angle{-53.1^\circ}V \\\dot U_{o3}&=0.69\angle{-67.4^\circ} V \end{aligned}

U˙o1​U˙o2​U˙o3​​=9∠0∘V=1.8∠−53.1∘V=0.69∠−67.4∘V​ 它们对应的正弦信号形式为：

u

o

1

=

12.73

s

i

n

(

ω

t

)

V

u

o

2

=

1.8

2

s

i

n

(

3

ω

t

−

53.

1

∘

)

V

u

o

3

=

0.69

2

s

i

n

(

5

ω

t

−

67.

4

∘

)

V

\begin{aligned} u_{o1} &= 12.73sin(\omega t)V \\u_{o2} &= 1.8\sqrt2 sin(3\omega t -53.1^\circ)V \\u_{o3}&=0.69\sqrt2 sin(5\omega t -67.4^\circ)V \end{aligned}

uo1​uo2​uo3​​=12.73sin(ωt)V=1.82

​sin(3ωt−53.1∘)V=0.692

​sin(5ωt−67.4∘)V​ 因此系统对激励信号

u

s

(

t

)

u_s(t)

us​(t)的稳态响应为：

u

o

(

t

)

=

u

o

1

+

u

o

2

+

u

o

3

=

12.73

s

i

n

(

ω

t

)

+

1.8

2

s

i

n

(

3

ω

t

−

53.

1

∘

)

+

0.69

2

s

i

n

(

5

ω

t

−

67.

4

∘

)

\begin{aligned} u_o(t) &= u_{o1}+u_{o2}+u_{o3} \\&=12.73sin(\omega t)+1.8\sqrt2 sin(3\omega t -53.1^\circ)+0.69\sqrt2 sin(5\omega t -67.4^\circ) \end{aligned}

uo​(t)​=uo1​+uo2​+uo3​=12.73sin(ωt)+1.82

​sin(3ωt−53.1∘)+0.692

​sin(5ωt−67.4∘)​

3. 求解正弦稳态响应的总结

通过上述两个例子可知，在求解周期非正弦信号的稳态响应时，其求解方法的关键是得到输入信号与输出信号的关系。如上述的第二个例子中：

U

˙

o

i

=

Z

C

∥

Z

L

Z

R

+

Z

C

∥

Z

L

⋅

U

˙

s

i

\dot U_{oi} =\frac{Z_C \parallel Z_L}{Z_R + Z_C \parallel Z_L}\cdot \dot U_{si}

U˙oi​=ZR​+ZC​∥ZL​ZC​∥ZL​​⋅U˙si​ 这里输出和输入的关系为：

U

˙

o

i

U

˙

s

i

=

Z

C

∥

Z

L

Z

R

+

Z

C

∥

Z

L

=

j

3

ω

L

j

3

ω

C

j

3

ω

L

−

j

1

3

ω

C

Z

R

+

j

3

ω

L

j

3

ω

C

j

3

ω

L

−

j

1

3

ω

C

\frac{\dot U_{oi}}{\dot U_{si}} = \frac{Z_C \parallel Z_L}{Z_R + Z_C \parallel Z_L} =\frac{\frac{\frac{j3\omega L}{j3\omega C}}{j3\omega L - j\frac{1}{3\omega C}}}{Z_R + \frac{\frac{j3\omega L}{j3\omega C}}{j3\omega L - j\frac{1}{3\omega C}}}

U˙si​U˙oi​​=ZR​+ZC​∥ZL​ZC​∥ZL​​=ZR​+j3ωL−j3ωC1​j3ωCj3ωL​​j3ωL−j3ωC1​j3ωCj3ωL​​​ 将

U

˙

o

i

U

˙

s

i

\frac{\dot U_{oi}}{\dot U_{si}}

U˙si​U˙oi​​用

H

(

j

ω

)

H(j\omega)

H(jω)表示，称为系统函数。

回顾上述两个例子，则求解周期信号的稳态响应可以重新归结为：

通过输入与输出的关系，确定系统函数

H

(

j

ω

)

H(j\omega)

H(jω)，并将系统函数使用极坐标形式表示。将原信号进行傅里叶级数展开，得到组成原信号的各个子正弦信号，并将这些子正弦信号使用相量表示。将各个子信号分别与系统函数相乘，计算时遵循幅度乘幅度，相角加相角的原则，得到各个子正弦信号的稳态响应。将各个子正弦信号的稳态响应相加，得到最终的响应。

这一节内容属于回顾电路分析的内容，主要是为了引出系统函数，进而引出下一篇阐述的频域分析的相关概念。本篇中的例子何部分内容来源于清华大学出版社的《电路原理》，其余部分为原创。如有不当之处，请批评指正！谢谢！